Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу. 1 семестр

Учебное пособие. Билеты (32 шт. ) + Ответы.
МГУ им. М. В. Ломоносова. 2008 г. – 157 стр. Для студентов общего потока. 1 семестр.От автора:
Это пособие написано на основе тех лекций, которые я прочитал в первом семестре 2008 года студентам первого курса.
Цель его написания – облегчить процесс подготовки к экзамену, оно поможет привести в систему Ваши знания. Поэтому в пособие включён не весь лекционный материал, а лишь та его часть, которая вошла в экзаменационные билеты и, следовательно, оно не является полной заменой Вашему собственному конспекту.
Обращу Ваше внимание на то, что предыдущие версии якобы «конспекта моих лекций» содержат вопиющие ошибки. Таких «лекций» я не читал. «Конспектов» тем более не писал. Те, кто рискнут по ним готовиться к экзамену – смелые, но безответственные люди.
Конечно, этот текст тоже может содержать опечатки. Я буду благодарен всем, кто отметит их, или выскажет другие замечания.Содержание:Билет 1 Множества и операции над ними.
Билет 2 Декартово произведение множеств. Бинарные отношения.
Билет 3 Отображения и их свойства.
Билет 4 Множество действительных чисел. Аксиома отделимости.
1. Натуральные числа. Аксиомы Пеано.
2. Целые числа.
3. Рациональные числа.
4. Действительные числа.
5. Аксиома отделимости.
Билет 5 Верхняя и нижняя грани. Стягивающиеся отрезки.
Билет 6 Предельные точки.
Билет 7 Приближенные вычисления.
1. Погрешность.
2. Десятичная запись приближенных чисел.
3. Правила округления чисел.
Билет 8 Предел последовательности. Бесконечно малые последовательности. Арифметические свойства предела.
Билет 9 Предельный переход в неравенствах. Предел монотонной ограниченной последовательности.
Билет 10 Число e. Неравенство Бернулли.
Билет 11 Критерий Коши существования предела последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
Билет 12 Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
Непрерывность функции в точке. Непрерывность сложной функции (композиции функций). Свойство сохранения неравенства (знака). Свойство локальной ограниченности. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Билет 13 Определение предела функции, арифметические свойства предела, предельный переход в неравенствах.
Свойства бесконечно малых. Арифметические свойства предела. Теорема о зажатой переменной. Критерий Коши для функции.
Билет 14 Вычисление lim sin х / х. Первый замечательный предел.
Билет 15 Предел монотонной ограниченной функции. Непрерывность элементарных функций.
Билет 16 Символы o ,O. Вычисление lim ln (1+х)/х…
Билет 17 Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции.
Билет 18 Ограниченность непрерывной на отрезке функции.
Билет 19 Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
Билет 20 Проиводная, её естественнонаучный смысл и основные свойства.
Билет 21 Производные элементарных функций, обратной функции, сложной функции, параметрически заданной функции.
Билет 22 Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.
Геометрический и механический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
Билет 23 Производные и дифференциалы высших порядков.
Последовательные производные. Линейное свойство производных высших порядков. n-я производная произведения. Вторая производная функции, заданной параметрически. Дифференциалы высших порядков.
Билет 24 Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума.
Билет
25. Теоремы Лагранжа, Коши. Критерий постоянства функции.
Билет
26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Билет 27 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Билет 28 Разложения функций e x, sinx, cosx, lnx, (1+x)µ.
Билет 29 Правила Лопиталя.
Билет 30 Монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции.
Билет 31 Выпуклость графика функции.
Билет 32 График изотермы газа Ван-дер Ваальса. График межмолекулярного потенциала Леннард-Джонса.